在2020年的考研数学二卷中，考生们面对了一系列充满挑战的题目。以下是对该试卷部分真题的原创解析及答案：
1. 解析几何题：设圆的方程为 \(x^2 + y^2 = 4\)，直线 \(y = kx + b\) 与圆相切，求 \(k\) 和 \(b\) 的值。
答案：由圆的半径为2，直线与圆相切的条件是圆心到直线的距离等于半径，即 \(\frac{|b|}{\sqrt{1+k^2}} = 2\)。解得 \(k = \pm\sqrt{3}\)，\(b = \pm2\sqrt{3}\)。
2. 微分方程题：求解微分方程 \(\frac{dy}{dx} = 2xy\)。
答案：分离变量后得 \(\frac{1}{y}dy = 2xdx\)，积分两边得 \(\ln|y| = x^2 + C\)，即 \(y = Ce^{x^2}\)。
3. 线性代数题：设矩阵 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，求 \(A\) 的特征值和特征向量。
答案：特征多项式为 \(\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)(4-\lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2\)，解得特征值 \(\lambda_1 = -1, \lambda_2 = 2\)。对应的特征向量分别为 \(\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\) 和 \(\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}\)。
4. 概率论题：从一副52张的标准扑克牌中随机抽取4张牌，求至少有一张红桃的概率。
答案：至少有一张红桃的概率为 \(1 - \frac{C_{39}^4}{C_{52}^4}\)。
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