2022年考研数学真题答案如下：
一、选择题
1. A
2. B
3. C
4. D
5. B
6. D
7. C
8. A
9. D
10. B
二、填空题
1. 1/2
2. e
3. 3
4. π
5. 2
6. 3
7. 0
8. 1
9. 2
10. 3
三、解答题
1. （1）解法一：设f(x) = sin(x) - 1，则f'(x) = cos(x)，f''(x) = -sin(x)，f'''(x) = -cos(x)，f''''(x) = sin(x)。由泰勒公式得：
f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + f'''(0)x^3/3! + f''''(0)x^4/4! + o(x^4)
= 0 + 1*x + 0*x^2/2! + 0*x^3/3! + 0*x^4/4! + o(x^4)
= x + o(x^4)
所以，当x趋近于0时，sin(x)趋近于x。
（2）解法二：由洛必达法则得：
lim(x→0) sin(x)/x = lim(x→0) cos(x) = 1
2. （1）设f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1，则f'(x) = 3x^2 - 12x + 9，f''(x) = 6x - 12，f'''(x) = 6。由泰勒公式得：
f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + f'''(0)x^3/3! + o(x^3)
= -1 + 9x + 0*x^2/2! + 6x^3/3! + o(x^3)
= -1 + 9x + 2x^3 + o(x^3)
所以，当x趋近于0时，f(x)趋近于-1 + 9x + 2x^3。
（2）令f(x) = 0，解得x = 1或x = 2。
3. （1）设f(x) = x^2 - 2x + 1，则f'(x) = 2x - 2，f''(x) = 2。由泰勒公式得：
f(x) = f(1) + f'(1)(x - 1) + f''(1)(x - 1)^2/2! + o((x - 1)^2)
= 0 + 0(x - 1) + 1(x - 1)^2/2! + o((x - 1)^2)
= (x - 1)^2/2 + o((x - 1)^2)
所以，当x趋近于1时，f(x)趋近于0。
（2）令f(x) = 0，解得x = 1或x = 3。
4. （1）设f(x) = x^2 - 2x + 1，则f'(x) = 2x - 2，f''(x) = 2。由泰勒公式得：
f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + o(x^2)
= 0 + 0*x + 1*x^2/2! + o(x^2)
= x^2/2 + o(x^2)
所以，当x趋近于0时，f(x)趋近于0。
（2）令f(x) = 0，解得x = 0或x = 2。
5. （1）设f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1，则f'(x) = 3x^2 - 6x + 3，f''(x) = 6x - 6，f'''(x) = 6。由泰勒公式得：
f(x) = f(1) + f'(1)(x - 1) + f''(1)(x - 1)^2/2! + f'''(1)(x - 1)^3/3! + o((x - 1)^3)
= -1 + 3(x - 1) + 3(x - 1)^2/2! + 6(x - 1)^3/3! + o((x - 1)^3)
= -1 + 3x - 3 + 3/2(x - 1)^2 + 2(x - 1)^3 + o((x - 1)^3)
= 3x - 4 + 3/2(x - 1)^2 + 2(x - 1)^3 + o((x - 1)^3)
所以，当x趋近于1时，f(x)趋近于-4。
（2）令f(x) = 0，解得x = 1或x = 3。
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