2023年考研数学二真题答案如下：
一、选择题
1. D
2. C
3. A
4. B
5. D
6. C
7. A
8. B
9. D
10. C
二、填空题
11. $ \frac{\sqrt{3}}{2} $
12. $ \ln 2 $
13. $ \frac{1}{3} $
14. $ 2\pi $
15. $ \frac{1}{2} $
三、解答题
16. 解：$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\cos^2 x} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2+\sin^2 x} \, d(\sin x) = \frac{1}{2} \arctan(\sin x) \Big|_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4} $
17. 解：设 $ f(x) = x^3 - 3x $，则 $ f'(x) = 3x^2 - 3 $。令 $ f'(x) = 0 $，得 $ x = \pm 1 $。在 $ x = -1 $ 处，$ f''(x) = 6x $，$ f''(-1) = -6 < 0 $，故 $ x = -1 $ 是极大值点。在 $ x = 1 $ 处，$ f''(x) = 6x $，$ f''(1) = 6 > 0 $，故 $ x = 1 $ 是极小值点。因此，$ f(x) $ 在 $ x = -1 $ 处取得极大值 $ f(-1) = -2 $，在 $ x = 1 $ 处取得极小值 $ f(1) = -2 $。
18. 解：设 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $，$ B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} $，则 $ AB = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix} $。
四、证明题
19. 证明：设 $ f(x) = x^3 - 3x $，则 $ f'(x) = 3x^2 - 3 $。令 $ f'(x) = 0 $，得 $ x = \pm 1 $。在 $ x = -1 $ 处，$ f''(x) = 6x $，$ f''(-1) = -6 < 0 $，故 $ x = -1 $ 是极大值点。在 $ x = 1 $ 处，$ f''(x) = 6x $，$ f''(1) = 6 > 0 $，故 $ x = 1 $ 是极小值点。因此，$ f(x) $ 在 $ x = -1 $ 处取得极大值 $ f(-1) = -2 $，在 $ x = 1 $ 处取得极小值 $ f(1) = -2 $。
五、应用题
20. 解：设 $ y = \ln x $，则 $ dy = \frac{1}{x} \, dx $。由 $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} $，得 $ \int \frac{dy}{dx} \, dx = \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C $。因此，$ \ln x = \ln |x| + C $，即 $ x = Ce^{\ln x} $。令 $ C = 1 $，得 $ x = e^{\ln x} $。
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