在探索考研数学竞赛题的解答过程中，我们不仅需要扎实的数学基础，还要具备灵活的思维和解决问题的能力。以下是一例竞赛题的解答思路：
题目：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+6$，求证：对于任意实数$x$，都有$f(x)\geq 2$。
解答：
1. 首先，对函数$f(x)$求导，得到$f'(x)=3x^2-6x+4$。
2. 令$f'(x)=0$，解得$x_1=1$和$x_2=\frac{2}{3}$。
3. 通过分析$f'(x)$的符号，可以知道当$x<\frac{2}{3}$或$x>1$时，$f'(x)>0$，函数$f(x)$单调递增；当$\frac{2}{3} 4. 因此，函数$f(x)$在$x=\frac{2}{3}$处取得局部最大值，在$x=1$处取得局部最小值。 5. 计算$f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{50}{27}$和$f(1)=4$，可知$f(x)$的最小值为4。 6. 由此可得，对于任意实数$x$，都有$f(x)\geq 4$。 7. 进一步分析，由于$f(x)$在$x=\frac{2}{3}$处取得局部最大值，且$f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{50}{27}<4$，因此$f(x)$在$x=\frac{2}{3}$处取得全局最大值。 8. 综上所述，对于任意实数$x$，都有$f(x)\geq \frac{50}{27}$。 【考研刷题通】——您的考研刷题好帮手！涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，海量真题、模拟题，助您轻松备战考研！立即关注，开启您的考研刷题之旅！