在2021年数二考研中，考生们面对的题目涵盖了高等数学的多个知识点。以下是对部分真题的解析：
1. 选择题：
- 题目：设函数\( f(x) = e^x - \sin x \)在\( x=0 \)处可导，求\( f'(0) \)的值。
- 解析：利用导数的定义，\( f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - \sin x}{x} \)。通过洛必达法则，计算得到\( f'(0) = 1 - \cos 0 = 0 \)。
2. 填空题：
- 题目：设\( \int_0^{\pi} (1 - \cos x)^2 \, dx \)的值为______。
- 解析：通过展开平方项和三角函数的积分，可以计算出\( \int_0^{\pi} (1 - \cos x)^2 \, dx = \int_0^{\pi} (1 - 2\cos x + \cos^2 x) \, dx = \frac{3\pi}{2} \)。
3. 解答题：
- 题目：求解微分方程\( y'' - 2y' + y = 2e^x \)的通解。
- 解析：首先解对应的齐次方程\( y'' - 2y' + y = 0 \)，其特征方程为\( r^2 - 2r + 1 = 0 \)，解得\( r = 1 \)（重根）。齐次方程的通解为\( y_h = (C_1 + C_2x)e^x \)。非齐次方程的特解可设为\( y_p = Ax^2e^x \)，代入原方程求解得\( A = 1 \)。因此，原方程的通解为\( y = (C_1 + C_2x)e^x + x^2e^x \)。
通过以上解析，可以看出2021年数二考研的真题考察了考生对高等数学基本概念和方法的掌握程度。备考过程中，建议考生多刷题、多总结，以便更好地应对考试。
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