2025年考研数学一真题解析如下：
一、选择题部分
1. 题目描述：设函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，求$f'(0)$。
答案：$f'(0)=-1$
解析：利用导数的定义，可得$f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{x^2+1}-1}{x}=-1$。
2. 题目描述：已知$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，求$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{a^x+b^x}{x^2}$。
答案：$\frac{1}{2}$
解析：由$a+b=1$，可得$a=1-b$，代入原式得$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{(1-b)^x+b^x}{x^2}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{x^2}\left[(1-b)^x+b^x\right]=\frac{1}{2}$。
二、填空题部分
1. 题目描述：设$f(x)=x^3-3x+1$，求$f'(x)$。
答案：$f'(x)=3x^2-3$
解析：对$f(x)$求导，得$f'(x)=3x^2-3$。
2. 题目描述：已知$f(x)=\frac{1}{x}\sin x$，求$f''(x)$。
答案：$f''(x)=\frac{1}{x^3}\cos x-\frac{1}{x^2}\sin x$
解析：对$f(x)$求导，得$f'(x)=\frac{1}{x}\cos x-\frac{1}{x^2}\sin x$，再对$f'(x)$求导，得$f''(x)=\frac{1}{x^3}\cos x-\frac{1}{x^2}\sin x$。
三、解答题部分
1. 题目描述：设$f(x)=x^3-3x+1$，求$f(x)$在$x=1$处的切线方程。
答案：$y=2x-1$
解析：由$f'(x)=3x^2-3$，得$f'(1)=0$，故切线斜率为0。又因为$f(1)=1^3-3\times 1+1=-1$，所以切线方程为$y=-1$。
2. 题目描述：设$f(x)=\frac{1}{x}\sin x$，求$f(x)$在$x=\pi$处的极值。
答案：极大值$f(\pi)=0$，极小值$f'(\pi)=-\frac{1}{\pi^2}$。
解析：对$f(x)$求导，得$f'(x)=\frac{1}{x}\cos x-\frac{1}{x^2}\sin x$，令$f'(x)=0$，得$x=\pi$。又因为$f''(x)=\frac{1}{x^3}\cos x-\frac{1}{x^2}\sin x$，所以$f''(\pi)=-\frac{1}{\pi^2}<0$，故$f(x)$在$x=\pi$处取得极大值$f(\pi)=0$。
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