在考研数学中，幂级数是一个至关重要的知识点。以下是幂级数的关键知识点：
1. 幂级数的定义：幂级数是形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的无穷级数，其中 $a_n$ 是常数，$x$ 是变量。
2. 收敛域：幂级数在某个区间内收敛，这个区间称为收敛域。收敛域通常可以通过比值法则或根值法则来确定。
3. 收敛半径：收敛半径是收敛域的一半长度，表示幂级数收敛的区间宽度。
4. 幂级数的性质：
- 幂级数在其收敛域内是连续的。
- 幂级数在其收敛域内可以逐项求导和积分。
- 幂级数可以展开为函数的泰勒级数。
5. 常见幂级数展开：
- $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
- $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
- $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$
6. 幂级数在求解微分方程中的应用：幂级数可以用来求解一些线性微分方程。
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