数学2012考研真题解析如下：
一、选择题（共20题，每题2分，共40分）
1. 若函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$在$x=1$处取得极值，则该极值为（ ）
A. -2 B. 0 C. 2 D. 4
答案：B
2. 设$a, b$为实数，若$(a+b)^2 - 3ab = 0$，则$a^2 + b^2$的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
答案：D
二、填空题（共10题，每题3分，共30分）
3. 函数$f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$的导数为（ ）
答案：$-\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$
4. 设$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x - 2x}{x^3} = A$，则$A$的值为（ ）
答案：$-2$
5. 设$A$为$3 \times 3$矩阵，且$\det(A) = 0$，则$A$的秩为（ ）
答案：$<3$
三、解答题（共3题，共70分）
6. （本题共20分）求函数$f(x) = e^x - x^2$在区间$[0, 2]$上的最大值和最小值。
答案：最大值为$e^2 - 4$，最小值为$0$。
7. （本题共20分）设$a, b$为实数，证明：$\sqrt{a^2 + b^2} \leq a + b$。
答案：由柯西不等式得$(a^2 + b^2)(1^2 + 1^2) \geq (a + b)^2$，即$a^2 + b^2 \geq \frac{(a + b)^2}{2}$，两边同时开方得$\sqrt{a^2 + b^2} \leq a + b$。
8. （本题共30分）设$A$为$3 \times 3$矩阵，$A^2 - 3A + 2E = 0$，求$A$的特征值和特征向量。
答案：特征值为$1, 2, 2$，对应的特征向量分别为$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$。
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