题目：设函数 \( f(x) = \frac{x^3 - 6x^2 + 9x}{x^2 - 3x + 2} \)，求 \( f(x) \) 的极限值，当 \( x \) 趋近于 2。
解答：
首先，观察函数 \( f(x) \) 在 \( x = 2 \) 处是否有意义。由于分母 \( x^2 - 3x + 2 \) 可以分解为 \( (x-1)(x-2) \)，所以当 \( x = 2 \) 时，分母为 0，因此 \( f(x) \) 在 \( x = 2 \) 处无定义。
接下来，考虑 \( x \) 趋近于 2 时 \( f(x) \) 的极限。由于 \( x \) 趋近于 2 时，\( f(x) \) 的形式为 \( \frac{0}{0} \) 的不定式，我们可以使用洛必达法则求解。
对分子和分母同时求导，得到：
\[ f'(x) = \frac{(3x^2 - 12x + 9)(x^2 - 3x + 2) - (x^3 - 6x^2 + 9x)(2x - 3)}{(x^2 - 3x + 2)^2} \]
将 \( x = 2 \) 代入 \( f'(x) \) 中，得：
\[ f'(2) = \frac{(3 \cdot 2^2 - 12 \cdot 2 + 9)(2^2 - 3 \cdot 2 + 2) - (2^3 - 6 \cdot 2^2 + 9 \cdot 2)(2 \cdot 2 - 3)}{(2^2 - 3 \cdot 2 + 2)^2} \]
\[ f'(2) = \frac{(12 - 24 + 9)(4 - 6 + 2) - (8 - 24 + 18)(4 - 3)}{(4 - 6 + 2)^2} \]
\[ f'(2) = \frac{(-3)(0) - (2)(1)}{(-2)^2} \]
\[ f'(2) = 0 \]
因此，\( f(x) \) 在 \( x \) 趋近于 2 时的极限值为 \( 0 \)。
【考研刷题通】——考研刷题神器，政治、英语、数学等全部考研科目，海量真题练习，助你高效备考！立即关注，开启你的考研刷题之旅！微信小程序搜索：【考研刷题通】