2020年考研数学三真题及答案完整版如下：
一、选择题（每题5分，共30分）
1. 设函数$f(x) = e^x - x$，则$f'(x)$的零点为：
A. $x = 0$，$f'(0) = 1$
B. $x = 1$，$f'(1) = e - 1$
C. $x = 0$，$f'(0) = 1$
D. $x = 1$，$f'(1) = e - 1$
2. 设矩阵$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$A^{-1}$为：
A. $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$
3. 下列级数中，收敛的是：
A. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2 + 1}$
B. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
C. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
D. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^3 + 1}$
二、填空题（每题5分，共20分）
1. 设$f(x) = \sin x$，则$f''(x) = \frac{d^2}{dx^2}(\sin x) = \boxed{\cos x}$。
2. 若$A$是$n$阶方阵，且$A^2 = 0$，则$A$的秩$r(A)$为$\boxed{0}$。
3. 级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$的和为$\boxed{\frac{\pi^2}{6}}$。
三、解答题（共50分）
1. （本题10分）计算定积分$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx$。
2. （本题15分）证明：对于任意实数$x$，有不等式$\sin x + \cos x \geq 1$。
3. （本题15分）求函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$的极值。
4. （本题10分）设$A$是$n$阶方阵，$A^2 = 0$，证明$A$的任一特征值都是$0$。
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