题目：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解答：
首先，求解特征值，需要计算特征多项式 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)，其中 \( I \) 是单位矩阵，\( \lambda \) 是特征值。
计算 \( A - \lambda I \)：
\[ A - \lambda I = \begin{bmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 3 & 4 - \lambda \end{bmatrix} \]
求行列式：
\[ \det(A - \lambda I) = (1 - \lambda)(4 - \lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0 \]
解这个二次方程，得到特征值：
\[ \lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = -1 \]
接下来，求对应的特征向量。
对于 \( \lambda_1 = 2 \)，解方程组 \( (A - 2I)v = 0 \)：
\[ \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
通过行简化，得到 \( x = 2y \)。因此，一个特征向量是 \( v_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
对于 \( \lambda_2 = -1 \)，解方程组 \( (A + I)v = 0 \)：
\[ \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
通过行简化，得到 \( 2x + 2y = 0 \)，即 \( x = -y \)。因此，一个特征向量是 \( v_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
综上所述，矩阵 \( A \) 的特征值为 \( 2 \) 和 \( -1 \)，对应的特征向量分别为 \( \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \) 和 \( \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
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