考研数学三答案详解如下：
1. 单选题
（1）A
（2）D
（3）B
（4）C
（5）D
2. 填空题
（1）1
（2）e
（3）π
（4）4
（5）3
3. 解答题
（1）首先求出函数的导数f'(x)和二阶导数f''(x)。然后根据导数的定义，分别求出f'(0)和f''(0)的值。接着利用泰勒公式展开f(x)在x=0处的表达式，得到f(x)的近似值。最后，将x=0.1代入近似表达式，得到f(0.1)的近似值。
（2）首先将原方程变形为y' = 2xy - y^2的形式。然后利用分离变量法，将方程两边同时除以y^2(1-2x)，得到dy/(y^2(1-2x)) = dx。接着对两边同时积分，得到-1/(1-2x) = -1/y + C，其中C为积分常数。最后，根据初始条件y(0)=1，解出C的值，得到y的表达式。
（3）首先设函数g(x) = f(x) - x^3，然后求出g'(x)和g''(x)。根据罗尔定理，若g(x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且g'(a) = g'(b) = 0，则在(a, b)内至少存在一点c，使得g''(c) = 0。根据题目条件，可知g'(0) = g'(1) = 0，因此，存在c∈(0, 1)，使得g''(c) = 0。接下来，求出f'(x)和f''(x)，然后求出f'(c)和f''(c)的值。最后，根据泰勒公式展开f(x)在x=c处的表达式，得到f(c)的近似值。
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