在考研数学的复习中，以下是一道经典的题目：
题目：设函数 \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \)，求 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的泰勒展开式的前三项。
解答：
首先，计算 \( f(x) \) 的导数：
\[ f'(x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2} \]
\[ f''(x) = \frac{2(1+x^2)^2 - 4x^2(1+x^2)}{(1+x^2)^4} = \frac{2 - 2x^2}{(1+x^2)^3} \]
然后，计算 \( f(0) \), \( f'(0) \), 和 \( f''(0) \)：
\[ f(0) = \frac{1}{1+0^2} = 1 \]
\[ f'(0) = -\frac{2 \cdot 0}{(1+0^2)^2} = 0 \]
\[ f''(0) = \frac{2 - 2 \cdot 0^2}{(1+0^2)^3} = 2 \]
因此，\( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的泰勒展开式的前三项为：
\[ f(x) \approx 1 + 0x + \frac{2}{2!}x^2 = 1 + x^2 \]
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