2022年考研数学二填空题讲解如下：
1. 若函数$f(x) = \ln(x^2 + 1)$，则$f'(0) = \frac{1}{2}$。
解析：对$f(x)$求导得$f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$，代入$x=0$得$f'(0) = \frac{1}{2}$。
2. 设$a > 0$，则$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + a)}{\ln(x^2 - a)} = 1$。
解析：利用对数函数的性质，化简得$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + a)}{\ln(x^2 - a)} = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + a)}{\ln(x^2)} = 1$。
3. 设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$。
解析：根据矩阵的逆公式，计算得$A^{-1} = \frac{1}{(1 \times 4) - (2 \times 3)} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$。
4. 设$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1$，则$f'(1) = 0$。
解析：对$f(x)$求导得$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，代入$x=1$得$f'(1) = 0$。
5. 设$S_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$，则$\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{\ln n} = \infty$。
解析：根据调和级数与对数函数的性质，可知$\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{\ln n} = \infty$。
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