【2023考研数学一真题完整版】
一、选择题
1. 设函数$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$，则$f'(0)$的值为：
A. 1
B. -1
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{2}x$
2. 下列函数中，在区间[0,1]上连续且可导的是：
A. $f(x) = |x^2 - 1|$
B. $f(x) = \sqrt{x}$
C. $f(x) = \begin{cases}
x^2, & x \geq 0 \\
-x, & x < 0
\end{cases}$
D. $f(x) = \frac{1}{x}$
二、填空题
3. 若$\int_0^1 x^2 e^x \, dx = A$，则$A$的值为____。
4. 设$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - 2x}{x^3} = B$，则$B$的值为____。
三、解答题
5. 解微分方程$\frac{dy}{dx} + y = e^{-x}$。
6. 设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求$A$的特征值和特征向量。
7. 计算定积分$\int_0^\pi \sin x \cos x \, dx$。
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