在考研数学中，卷积公式在解决某些积分问题时扮演着重要角色。例如，在处理线性微分方程或信号处理问题时，卷积公式能够简化计算过程。以下是一个使用卷积公式解决考研数学真题的例子：
题目：求解以下积分：
\[ \int_0^{\infty} x^2 e^{-x^2} \, dx \]
解答思路：
1. 将原积分转化为卷积形式。
2. 利用卷积公式求解。
具体步骤如下：
步骤1：将原积分转化为卷积形式
\[ \int_0^{\infty} x^2 e^{-x^2} \, dx = \int_0^{\infty} (x * e^{-x^2}) \, dx \]
其中，\( * \) 表示卷积运算。
步骤2：利用卷积公式求解
\[ (x * e^{-x^2}) = \int_0^x t e^{-t^2} \, dt \]
\[ = \frac{1}{2} \int_0^x t e^{-t^2} \, d(t^2) \]
\[ = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} e^{-t^2} \right]_0^x \]
\[ = \frac{1}{4} (1 - e^{-x^2}) \]
因此，原积分的解为：
\[ \int_0^{\infty} x^2 e^{-x^2} \, dx = \frac{1}{4} \]
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