2022年考研数学二真题解析如下：
一、选择题（每题5分，共10题）
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则$f'(1)$的值为：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：C
2. 若$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - x}{x^3} = 1$，则$a$的值为：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：B
二、填空题（每题5分，共5题）
3. 设$\int_0^1 x^2 e^x \, dx = a$，则$a$的值为：
答案：$\frac{1}{4}(e - 1)$
4. 设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$A^{-1}$的值为：
答案：$\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$
5. 设$f(x) = \ln x$，则$f'(x)$的值为：
答案：$\frac{1}{x}$
三、解答题（每题20分，共4题）
6. 求函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$的极值点。
解答：求导得$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$，令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = 3$。再求二阶导数$f''(x) = 6x - 12$，代入$x = 1$和$x = 3$，得$f''(1) = -6 < 0$，$f''(3) = 6 > 0$。因此，$x = 1$是极大值点，$x = 3$是极小值点。
7. 设$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求$\mathbf{A}^2$。
解答：$\mathbf{A}^2 = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{bmatrix}$。
8. 设$f(x) = e^x \sin x$，求$\int_0^{\pi} f(x) \, dx$。
解答：$\int_0^{\pi} f(x) \, dx = \int_0^{\pi} e^x \sin x \, dx$。使用分部积分法，令$u = e^x$，$dv = \sin x \, dx$，则$du = e^x \, dx$，$v = -\cos x$。得$\int e^x \sin x \, dx = -e^x \cos x + \int e^x \cos x \, dx$。再次使用分部积分法，得$\int e^x \cos x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \sin x \, dx$。联立方程解得$\int_0^{\pi} f(x) \, dx = 2$。
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