考研数学中常考的极限问题解析与解答

考研数学作为选拔性考试，极限问题是其中的核心内容之一。极限不仅考察基础概念，还与导数、积分等知识紧密相连。在历年真题中，极限问题往往以综合题形式出现，涉及函数的连续性、可导性判断，以及洛必达法则、泰勒展开等技巧。本文将结合典型例题，深入解析极限问题的解题思路与常见误区，帮助考生系统掌握这一考点。

经典题型及解题思路

问题一：利用洛必达法则求解未定式极限

例题：求极限 lim(x→0) [x sin(x)/x3]。

解答：本题属于“∞/∞”型未定式，可连续应用洛必达法则三次。首先对分子分母同时求导，得到 [1 cos(x)/(3x2)]。继续求导后变为 [sin(x)/(6x)]，再求导为 [cos(x)/6]。将x=0代入可得极限值为1/6。值得注意的是，洛必达法则使用前需验证条件，且每次求导后要检查是否仍为未定式。

问题二：涉及三角函数的极限计算

例题：求极限 lim(x→0) [(1+x)α eα]/x，其中α为常数。

解答：本题看似复杂，但可通过泰勒展开简化计算。将(1+x)α展开为1+αx+α(α-1)x2/2!+…，eα展开为1+αx+x2/2!+…，相减后分子变为α(α-1)x2/2! x2/2! +…。约去x后，极限值为α(α-1)/2。这种方法比直接用洛必达法则更高效，尤其当α为较大整数时。

问题三：关于无穷小比较的极限问题

例题：比较极限 lim(x→0) [tan(x) sin(x)]/x3 的大小。

解答：这类问题需利用无穷小等价替换。tan(x)≈x+x3/3，sin(x)≈x-x3/6，相减后为2x3/18，极限值为1/9。若题目改为求极限值，则需进一步计算。关键在于掌握常见函数的泰勒展开式，如sin(x), cos(x), tan(x), ln(1+x)等。