2021年考研数学一真题答案如下：
一、选择题
1. D
2. B
3. A
4. C
5. D
6. B
7. A
8. C
9. D
10. B
二、填空题
11. e
12. 2
13. 1/2π
14. 0
15. 1/4
三、解答题
16. 解：首先求导，得到y' = 2x + 1。然后求二阶导数，得到y'' = 2。由泰勒公式展开，得：
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)^2/2
代入a = 0，得：
f(x) ≈ 2(x - 0) + 2(x - 0)^2/2 = 2x + x^2
所以，f(1) ≈ 2*1 + 1^2 = 3。
17. 解：设A为2x2矩阵，B为3x3矩阵，C为2x3矩阵，则AB为2x3矩阵，AC为2x2矩阵。根据矩阵乘法的性质，可知：
(AB)C = A(BC) = ACBC
所以，(AB)C = ACBC。
18. 解：由题意知，函数f(x)在区间[0, 1]上连续，在(0, 1)内可导。根据罗尔定理，存在至少一个ξ∈(0, 1)，使得f'(ξ) = 0。又因为f(0) = f(1) = 0，所以f(x)在[0, 1]上至少有两个零点。
四、证明题
19. 证明：设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x) ≠ 0。根据拉格朗日中值定理，存在至少一个ξ∈(a, b)，使得：
f'(ξ) = (f(b) - f(a))/(b - a)
因为f'(x) ≠ 0，所以f'(ξ) ≠ 0。因此，f(x)在[a, b]上单调。
五、应用题
20. 解：设函数f(x)在区间[0, 1]上连续，在(0, 1)内可导，且f(0) = f(1) = 0。根据题意，有：
∫(0 to 1) f(x) dx = 0
对上式两边求导，得到：
f(1) - f(0) = 0
即f(1) = f(0)。由于f(0) = f(1) = 0，所以f(x)在[0, 1]上恒为0。
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