1. 若函数 \( f(x) = \frac{x^3 - 3x}{x^2 - 1} \) 在 \( x = 1 \) 处可导，求 \( f'(1) \)。
2. 设 \( A \) 为 \( 3 \times 3 \) 矩阵，且 \( A \) 的行列式 \( \det(A) = 0 \)，则 \( A \) 必定存在一个非零的特征值。
3. 已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x) - \sin(x)}{x} = 2 \)，求 \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(3x) - \cos(x)}{x^2} \)。
4. 设 \( f(x) = e^{x^2} \)，求 \( f \) 在 \( x = 0 \) 处的泰勒展开式的前三项。
5. 若 \( \int_0^1 e^{2x} \cos(x) \, dx = \int_0^1 e^{2x} \sin(x) \, dx \)，则 \( \int_0^1 e^{4x} \cos(x) \, dx \) 的值为多少？
6. 设 \( \mathbf{a} = (1, 2, 3) \)，\( \mathbf{b} = (4, 5, 6) \)，求 \( \mathbf{a} \) 与 \( \mathbf{b} \) 的外积 \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \)。
7. 已知 \( f(x) = \ln(x + 1) \)，求 \( f \) 的反函数 \( f^{-1}(x) \)。
8. 设 \( \{a_n\} \) 是一个等差数列，若 \( a_1 = 2 \)，\( a_3 = 8 \)，求 \( a_5 \)。
9. 若 \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1} - x}{\sqrt{x^2 + 4} - x} = 1 \)，求 \( x \) 的值。
10. 设 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)，求 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \)。
11. 若 \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin(x) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos(x) \, dx \)，则 \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^3 \sin(x) \, dx \) 的值为多少？
12. 设 \( A \) 为 \( 2 \times 2 \) 矩阵，且 \( A^2 = 0 \)，则 \( A \) 必定是可逆的。
13. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x) - x}{x^3} = \frac{1}{3} \)，求 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) - x}{x^5} \)。
14. 设 \( f(x) = \ln(\ln(x)) \)，求 \( f \) 的二阶导数 \( f''(x) \)。
15. 若 \( \{a_n\} \) 是一个等比数列，且 \( a_1 = 3 \)，\( a_3 = 27 \)，求 \( a_5 \)。
16. 设 \( \mathbf{a} = (1, 1, 1) \)，\( \mathbf{b} = (1, 2, 3) \)，求 \( \mathbf{a} \) 与 \( \mathbf{b} \) 的点积 \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \)。
17. 已知 \( f(x) = \frac{1}{x} \)，求 \( f \) 的反函数 \( f^{-1}(x) \)。
18. 设 \( \{a_n\} \) 是一个等差数列，若 \( a_1 = 5 \)，\( a_4 = 15 \)，求 \( a_7 \)。
19. 若 \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 4} + x} = 1 \)，求 \( x \) 的值。
20. 设 \( f(x) = e^x \)，求 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \)。
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