2023年考研数学二第三题详细讲解如下：
题目：设函数 \( f(x) = \frac{x^3}{3} - x + 2 \)，求 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的切线方程。
解答步骤：
1. 首先求函数 \( f(x) \) 的导数。由基本导数公式，得：
\[ f'(x) = x^2 - 1 \]
2. 接着，计算 \( f'(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的值，即切线的斜率 \( k \)：
\[ f'(1) = 1^2 - 1 = 0 \]
3. 现在我们知道切线斜率 \( k = 0 \)，接下来求切点的纵坐标。将 \( x = 1 \) 代入原函数 \( f(x) \) 中，得：
\[ f(1) = \frac{1^3}{3} - 1 + 2 = \frac{1}{3} \]
4. 因此，切点的坐标为 \( (1, \frac{1}{3}) \)。
5. 使用点斜式方程来写出切线方程。点斜式方程为 \( y - y_1 = m(x - x_1) \)，其中 \( m \) 是斜率，\( (x_1, y_1) \) 是切点坐标。将 \( m = 0 \) 和切点坐标 \( (1, \frac{1}{3}) \) 代入，得：
\[ y - \frac{1}{3} = 0 \cdot (x - 1) \]
\[ y = \frac{1}{3} \]
所以，函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的切线方程是 \( y = \frac{1}{3} \)。
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