数学一考研真题及答案详解如下：
真题一：
已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，求$f'(x)$。
答案详解：
由导数的基本公式，对多项式函数逐项求导，得到：
$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(4x) + \frac{d}{dx}(1)$$
$$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$$
真题二：
设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求$A$的逆矩阵$A^{-1}$。
答案详解：
首先计算$A$的行列式$|A|$：
$$|A| = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2$$
由于行列式不为零，$A$是可逆的。接着计算伴随矩阵$A^*$：
$$A^* = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$$
最后，$A^{-1}$可以通过以下公式计算：
$$A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^* = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$$
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