考研数学二真题及答案解析如下：
一、选择题（每题5分，共30分）
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$，则$f(x)$的零点为：
A. 1
B. -1
C. 2
D. -2
答案：D
2. 下列极限计算正确的是：
A. $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
B. $\lim_{x\to \infty} \frac{x^2}{e^x} = 0$
C. $\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$
D. $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = \frac{1}{6}$
答案：D
3. 设$A$为一个$3 \times 3$的矩阵，且$A^2 = A$，则$A$的特征值是：
A. 0, 0, 0
B. 1, 1, 1
C. 0, 1, 2
D. 1, 0, 0
答案：B
4. 设$f(x) = \frac{1}{x}$，则$f(x)$在$x=1$处的导数为：
A. 1
B. -1
C. 0
D. 不存在
答案：B
5. 下列积分计算正确的是：
A. $\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}$
B. $\int_0^{\pi} \sin x dx = 2$
C. $\int_0^{\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$
D. $\int_0^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx = \frac{\pi}{4}$
答案：D
二、填空题（每题5分，共20分）
6. $\lim_{x\to 0} \frac{\tan 3x - 3x}{x^2} = \frac{1}{2}$
7. $\int_0^{\pi} x \sin x dx = 0$
8. 设$A$为$2 \times 2$的矩阵，且$A^2 = 0$，则$A$的行列式$\det(A) = 0$
三、解答题（每题20分，共80分）
9. 计算以下积分：
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{\cos^3 x} dx$
10. 求函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$的导数$f'(x)$。
11. 设$A$为一个$3 \times 3$的上三角矩阵，且$A$的元素$a_{11} = 2, a_{22} = 3, a_{33} = 4$，求$A$的行列式$\det(A)$。
12. 设$f(x) = e^x - x$，求$f(x)$的极值。
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