2014年数学二考研真题解析如下：
一、选择题部分
1. 解析：本题主要考查极限的计算。正确答案为B。
2. 解析：本题主要考查函数的连续性。正确答案为D。
3. 解析：本题主要考查线性方程组的解。正确答案为A。
二、填空题部分
1. 解析：本题主要考查定积分的计算。答案为$\frac{\pi}{4}$。
2. 解析：本题主要考查二阶常系数线性微分方程的通解。答案为$y = C_1 e^x + C_2 x e^x$。
三、解答题部分
1. 解析：本题主要考查函数的导数和积分。解答步骤如下：
- 求导数：$f'(x) = \frac{2x+1}{x^2+1}$；
- 求积分：$F(x) = \int f'(x) dx = \ln(x^2+1) + C$；
- 求极值：令$f'(x) = 0$，得$x = -\frac{1}{2}$，$f(-\frac{1}{2}) = 0$，故$f(x)$在$x = -\frac{1}{2}$处取得极小值。
2. 解析：本题主要考查多元函数的偏导数和全微分。解答步骤如下：
- 求偏导数：$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + 3y$，$\frac{\partial z}{\partial y} = 3x + 2y$；
- 求全微分：$dz = (2x + 3y) dx + (3x + 2y) dy$；
- 求极值：令$\frac{\partial z}{\partial x} = 0$，$\frac{\partial z}{\partial y} = 0$，得$x = -\frac{3}{5}$，$y = -\frac{2}{5}$，$z = -\frac{3}{5}$，故$z$在$(x, y) = (-\frac{3}{5}, -\frac{2}{5})$处取得极小值。
3. 解析：本题主要考查矩阵的运算和特征值。解答步骤如下：
- 求特征值：$\det(A - \lambda I) = 0$，解得$\lambda_1 = 2$，$\lambda_2 = -1$，$\lambda_3 = 0$；
- 求特征向量：$\text{特征值} \lambda_1 = 2$ 对应的特征向量：$x_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$；
- $\text{特征值} \lambda_2 = -1$ 对应的特征向量：$x_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$；
- $\text{特征值} \lambda_3 = 0$ 对应的特征向量：$x_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$。
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