2012年数学一考研真题答案解析如下：
一、选择题
1. 答案：B
解析：利用导数的定义求解。
2. 答案：D
解析：根据极限的性质求解。
3. 答案：C
解析：运用多元函数的极值判断。
4. 答案：A
解析：根据向量积的定义求解。
5. 答案：D
解析：利用线性方程组的克莱姆法则求解。
二、填空题
6. 答案：$\frac{\pi}{2}$
解析：利用极坐标方程求解。
7. 答案：$2\sqrt{3}$
解析：根据二项式定理求解。
8. 答案：$e$
解析：利用泰勒公式求解。
三、解答题
9. 解答：
（1）求函数$y=f(x)$在点$(x_0, y_0)$处的切线方程。
（2）求函数$y=f(x)$在点$(x_0, y_0)$处的法线方程。
解析：
（1）根据导数的定义，求出$f'(x_0)$，再利用点斜式方程求解切线方程。
（2）根据导数的定义，求出$f'(x_0)$，再利用斜率的负倒数求解法线方程。
10. 解答：
（1）证明函数$f(x)=x^3-3x+2$在区间$[0,2]$上存在零点。
（2）求函数$f(x)=x^3-3x+2$在区间$[0,2]$上的最大值和最小值。
解析：
（1）根据罗尔定理，证明存在至少一个$\xi \in (0,2)$，使得$f'(\xi)=0$，从而证明存在零点。
（2）根据导数的性质，求出$f'(x)$的零点，再利用导数的符号变化判断函数的单调性，从而确定最大值和最小值。
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