2017年数二考研真题解析如下：
一、填空题
1. 设函数 $f(x) = \frac{1}{x} - \ln x$，则 $f'(x) = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x}$。
2. 设 $A$ 为 $3 \times 3$ 矩阵，且 $A^2 - 2A - 3E = 0$，则 $A^{-1} = \frac{1}{3}A + E$。
3. 设 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则 $f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$。
二、选择题
1. 设 $A$ 为 $2 \times 2$ 矩阵，且 $A^2 - 2A + E = 0$，则 $A$ 的特征值是 $\boxed{1, 1}$。
2. 设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，$f'(x)$ 在 $(0, 1)$ 内可导，$f(0) = 0$，$f(1) = 1$，则 $\int_0^1 \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx$ 的值是 $\boxed{\ln 2}$。
三、解答题
1. 设 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，求 $f'(x)$ 和 $f''(x)$。
解：$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，$f''(x) = 6x - 6$。
2. 设 $A$ 为 $3 \times 3$ 矩阵，且 $A^2 - 2A - 3E = 0$，求 $A^{-1}$。
解：$A^{-1} = \frac{1}{3}A + E$。
3. 设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，$f'(x)$ 在 $(0, 1)$ 内可导，$f(0) = 0$，$f(1) = 1$，求 $\int_0^1 \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx$。
解：$\int_0^1 \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln 2$。
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