例题：已知函数 \( f(x) = x^2 \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) \) 在区间 \([0,1]\) 上连续，且 \( f(0) = 0 \)。求 \(\int_0^1 f(x) \, dx\)。
解题步骤：
1. 首先，由于 \( f(x) \) 在 \([0,1]\) 上连续，根据定积分的定义，我们可以直接计算该定积分。
2. 由于 \( f(0) = 0 \)，我们可以将积分区间拆分为 \([0, \epsilon]\) 和 \([\epsilon, 1]\)，其中 \( \epsilon \) 是一个趋近于0的正数。
3. 对于 \(\int_0^\epsilon f(x) \, dx\)，由于 \( x^2 \) 在 \([0, \epsilon]\) 上是非负的，而 \(\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)\) 在 \([0, \epsilon]\) 上是有界的（因为 \(\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)\) 的值域为 \([-1, 1]\)），所以 \(\int_0^\epsilon f(x) \, dx\) 的值趋近于0。
4. 对于 \(\int_\epsilon^1 f(x) \, dx\)，由于 \( x^2 \) 和 \(\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)\) 均为连续函数，我们可以直接计算这个积分。
5. 计算积分 \(\int_\epsilon^1 x^2 \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) \, dx\)，可以通过分部积分法求解。设 \( u = x^2 \)，\( dv = \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) dx \)，则 \( du = 2x dx \)，\( v = -\frac{x}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{x}\right) \)。
6. 应用分部积分公式 \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\)，得到：
\[
\int_\epsilon^1 x^2 \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) \, dx = -\frac{x^3}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{x}\right) \bigg|_\epsilon^1 + \frac{3}{\pi} \int_\epsilon^1 x^2 \cos\left(\frac{\pi}{x}\right) \, dx
\]
7. 由于 \( x^3 \) 和 \( \cos\left(\frac{\pi}{x}\right) \) 在 \( x = 1 \) 和 \( x = \epsilon \) 处的值都为0，上式简化为：
\[
\frac{3}{\pi} \int_\epsilon^1 x^2 \cos\left(\frac{\pi}{x}\right) \, dx
\]
8. 再次使用分部积分法计算 \(\int_\epsilon^1 x^2 \cos\left(\frac{\pi}{x}\right) \, dx\)，最终可以得到积分的值。
9. 当 \( \epsilon \) 趋近于0时，上述积分的极限即为 \(\int_0^1 f(x) \, dx\) 的值。
通过以上步骤，我们可以计算出 \(\int_0^1 x^2 \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) \, dx\) 的具体数值。
【考研刷题通】——你的考研刷题小助手，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助力你高效刷题，轻松备战考研！立即使用，开启你的刷题之旅！微信小程序搜索：【考研刷题通】。