在2010年考研数学三中，二阶导数的题目往往考察考生对函数导数性质的理解和应用。以下是一个可能的原创题目及其解答：
题目：已知函数\( f(x) = e^{2x} - 3x^2 + 4 \)，求\( f''(x) \)并讨论其符号。
解答：
首先，我们需要求出函数的一阶导数\( f'(x) \)。根据导数的定义和求导法则，我们有：
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{2x}) - \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(4) \]
\[ f'(x) = 2e^{2x} - 6x \]
接下来，求二阶导数\( f''(x) \)：
\[ f''(x) = \frac{d}{dx}(2e^{2x}) - \frac{d}{dx}(6x) \]
\[ f''(x) = 4e^{2x} - 6 \]
为了讨论\( f''(x) \)的符号，我们需要找到\( f''(x) = 0 \)的点：
\[ 4e^{2x} - 6 = 0 \]
\[ e^{2x} = \frac{3}{2} \]
\[ 2x = \ln\left(\frac{3}{2}\right) \]
\[ x = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{3}{2}\right) \]
当\( x < \frac{1}{2}\ln\left(\frac{3}{2}\right) \)时，\( e^{2x} < \frac{3}{2} \)，因此\( f''(x) < 0 \)，函数在这个区间是凹的。
当\( x > \frac{1}{2}\ln\left(\frac{3}{2}\right) \)时，\( e^{2x} > \frac{3}{2} \)，因此\( f''(x) > 0 \)，函数在这个区间是凸的。
所以，函数在\( x = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{3}{2}\right) \)处从凹变凸。
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