在考研数学试题解析中，关键在于深入理解题目背景、巧妙运用数学原理以及灵活运用解题技巧。以下是对一道典型考研数学试题的解析：
题目：已知函数$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$，求证：$f(x)$在$(-\infty, +\infty)$上单调递减。
解析：
1. 首先，我们观察函数$f(x)$的定义域为$(-\infty, +\infty)$，且$f(x)$为连续函数。
2. 接下来，我们计算$f(x)$的导数。由求导法则得：$f'(x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}$。
3. 由于$x$的取值范围是$(-\infty, +\infty)$，所以$1+x^2 > 0$。因此，$f'(x)$的符号由$-2x$决定。
4. 当$x > 0$时，$f'(x) < 0$；当$x < 0$时，$f'(x) > 0$。这说明$f(x)$在$x > 0$时单调递减，在$x < 0$时单调递增。
5. 然而，我们需要证明$f(x)$在$(-\infty, +\infty)$上单调递减。为了证明这一点，我们可以考虑以下两种情况：
（1）若$x_1 > x_2$，则$x_1 - x_2 > 0$。由于$f'(x) < 0$，所以$f(x_1) - f(x_2) < 0$，即$f(x_1) < f(x_2)$。
（2）若$x_1 < x_2$，则$x_1 - x_2 < 0$。由于$f'(x) > 0$，所以$f(x_1) - f(x_2) > 0$，即$f(x_1) > f(x_2)$。
综上所述，无论$x_1$和$x_2$的大小关系如何，都有$f(x_1) < f(x_2)$。因此，$f(x)$在$(-\infty, +\infty)$上单调递减。
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