2021年考研数学二真题第12题如下：
已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \)，求函数 \( f(x) \) 的极值点。
解答思路：
1. 求导数 \( f'(x) \)；
2. 令 \( f'(x) = 0 \)，解得驻点；
3. 判断驻点的左右导数的符号，确定极值点。
解答过程：
1. \( f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \)；
2. 令 \( f'(x) = 0 \)，得 \( 3x^2 - 6x + 2 = 0 \)，解得 \( x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \)，\( x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \)；
3. 分别代入 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 到 \( f'(x) \) 中，得：
- 当 \( x < 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \) 时，\( f'(x) > 0 \)，函数单调递增；
- 当 \( 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} < x < 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \) 时，\( f'(x) < 0 \)，函数单调递减；
- 当 \( x > 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \) 时，\( f'(x) > 0 \)，函数单调递增；
- 因此，\( x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \) 为极大值点，\( x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \) 为极小值点。
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