在考研数学中，积分算法是高等数学的核心内容之一。以下是对积分算法的详细解析：
1. 不定积分：
- 基本积分公式：掌握基本积分公式是解决不定积分问题的关键。例如，$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$）。
- 换元积分法：适用于被积函数中含有根式、三角函数、反三角函数等。例如，令 $u = x^2 + 1$，则 $\int \frac{1}{x^2+1} dx = \arctan x + C$。
- 分部积分法：适用于被积函数是两个函数的乘积。例如，$\int u dv = uv - \int v du$。
2. 定积分：
- 牛顿-莱布尼茨公式：$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$，其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。
- 定积分的性质：包括积分区间的可加性、奇偶性、周期性等。
- 定积分的应用：如计算面积、体积、弧长等。
3. 反常积分：
- 无穷区间积分：如 $\int_0^\infty \frac{1}{x^2} dx = 1$。
- 瑕积分：如 $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2$。
4. 积分算法在实际问题中的应用：
- 物理问题：如计算物体的位移、速度、加速度等。
- 几何问题：如计算曲线的长度、曲面的面积等。
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