在05年考研数学二试卷中，第18题是一道关于多元函数极限的经典题目。题目内容如下：
设函数 \( f(x, y) = \frac{x^2y}{x^2 + y^2} \)，其中 \( (x, y) \neq (0, 0) \)，求 \(\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)\)。
解答此题的关键在于理解函数在点 \((0, 0)\) 的极限性质。可以通过分析函数在各个方向上的极限来求解。具体过程如下：
1. 沿着 \( y = mx \) 的直线方向：
\[
\lim_{x \to 0} f(x, mx) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2(mx)}{x^2 + (mx)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{m}{1 + m^2} = \frac{m}{1 + m^2}
\]
由于极限值依赖于 \( m \)，故沿任意直线 \( y = mx \) 的极限值均不相同。
2. 沿着 \( y = 0 \) 的方向：
\[
\lim_{x \to 0} f(x, 0) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \cdot 0}{x^2 + 0^2} = 0
\]
由于沿 \( y = 0 \) 的极限值为0，而沿任意直线 \( y = mx \) 的极限值与 \( m \) 相关，不唯一，故 \(\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)\) 不存在。
【考研刷题通】小程序，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目刷题功能，助你高效备考，轻松应对各类考研题目。立即下载，开启你的考研刷题之旅！微信小程序搜索：【考研刷题通】，让你的考研之路更加顺畅！