在2024年的考研数学二中，多元函数的大题部分通常会涉及以下几个关键点：
1. 偏导数的计算：要求考生熟练掌握多元函数偏导数的定义和计算方法，包括一阶偏导数和二阶偏导数的求法。
2. 多元函数的极值问题：这包括求多元函数的驻点、判断极值类型（极大值、极小值或鞍点），以及利用拉格朗日乘数法求解条件极值。
3. 多元函数的积分：涉及二重积分和三重积分的计算，包括直角坐标系和极坐标系下的积分。
4. 向量场与场论：可能考察梯度场、散度场和旋度场的概念，以及相关的向量场问题。
5. 多元函数微分中值定理：如多元拉格朗日中值定理的应用。
以下是一个多元函数大题的示例：
题目：设函数 \( f(x, y) = x^2y - y^3 \)，其中 \( x, y \) 均为实数。求点 \( (1, -1) \) 处的切平面方程。
解答：
1. 首先计算函数 \( f \) 的一阶偏导数：
\[ f_x = 2xy, \quad f_y = x^2 - 3y^2 \]
2. 在点 \( (1, -1) \) 处，计算偏导数的值：
\[ f_x(1, -1) = 2 \times 1 \times (-1) = -2, \quad f_y(1, -1) = 1^2 - 3 \times (-1)^2 = -2 \]
3. 使用切平面方程的一般形式 \( z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) \)，代入相关值：
\[ z = 1^2 \times (-1) - (-1)^3 + (-2)(x - 1) + (-2)(y + 1) \]
\[ z = -1 + 1 - 2x + 2 - 2y - 2 \]
\[ z = -2x - 2y \]
4. 因此，切平面方程为 \( z = -2x - 2y \)。
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