2024年考研数二真题及答案解析如下：
一、选择题
1. 下列函数中，连续的是（ ）
A. $f(x) = |x|$，$x=0$
B. $f(x) = \frac{1}{x}$，$x=0$
C. $f(x) = \sqrt{x}$，$x=0$
D. $f(x) = x^2$，$x=0$
【答案】C
解析：选项C中，函数$y = \sqrt{x}$在$x=0$处连续，因为其左右极限都等于函数值。
2. 设函数$f(x) = e^{-x^2}$，则$f''(x)$等于（ ）
A. $-4xe^{-x^2}$
B. $-4e^{-x^2}$
C. $-8xe^{-x^2}$
D. $-8e^{-x^2}$
【答案】C
解析：对$f(x) = e^{-x^2}$求导，得$f'(x) = -2xe^{-x^2}$，再次求导得$f''(x) = -2e^{-x^2} + 4xe^{-x^2} = -8xe^{-x^2}$。
二、填空题
3. $\int_0^1 x^3 dx$的值为（ ）
【答案】$\frac{1}{4}$
解析：利用积分公式$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，得$\int_0^1 x^3 dx = \frac{1}{4}$。
三、解答题
4. 求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$的值。
【答案】1
解析：根据洛必达法则，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$。
5. 求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$的极值。
【答案】极大值：$f(1) = 1$；极小值：$f(2) = 1$
解析：对$f(x)$求导得$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = 2$。当$x=1$时，$f''(x) = 6 > 0$，所以$f(1)$为极大值；当$x=2$时，$f''(x) = -6 < 0$，所以$f(2)$为极小值。
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