考研数学冲刺：高分题难点解析与高分技巧

在考研数学的备考过程中，冲刺阶段的高分题往往成为许多考生心中的难点。这些题目不仅考察基础知识的掌握程度，更考验考生的解题思路和应试技巧。为了帮助考生更好地应对这些挑战，我们整理了几个常见的100分题难点，并提供了详细的解答思路。通过这些解析，考生可以更清晰地理解题目背后的逻辑，掌握解题的关键步骤，从而在考试中更加从容不迫。

问题一：多元函数微分学的应用题如何高效求解？

在考研数学中，多元函数微分学的应用题是得分的关键，也是许多考生的难点。这类题目通常涉及求极值、最值、条件极值等，需要考生灵活运用拉格朗日乘数法、偏导数等知识点。下面我们通过一个具体例子来解析这类题目的解题思路。

例题：某工厂生产两种产品，产量分别为x和y，成本函数为C(x,y)=x2+2y2+xy，市场需求函数分别为p1=10-0.2x和p2=8-0.4y。求两种产品的产量使得工厂的总利润最大。

解答：我们需要确定利润函数。利润函数等于总收入减去总成本。总收入为两种产品的收入之和，即p1x+p2y。因此，总收入函数为R(x,y)=x(10-0.2x)+y(8-0.4y)。总成本函数已经给出，为C(x,y)=x2+2y2+xy。所以，利润函数为：

π(x,y)=R(x,y)-C(x,y)=x(10-0.2x)+y(8-0.4y)-(x2+2y2+xy)

化简后得到利润函数为：π(x,y)=10x-0.2x2+8y-0.4y2-x2-2y2-xy

为了求利润最大值，我们需要对利润函数求偏导数，并令偏导数等于0。分别对x和y求偏导数：

?π/?x=10-0.4x-2x-y

?π/?y=8-0.8y-4y-x

令这两个偏导数等于0，得到方程组：

10-0.4x-2x-y=0

8-0.8y-4y-x=0

解这个方程组，得到x=5，y=3。为了验证这是最大值，我们需要检查二阶偏导数。计算二阶偏导数：

?2π/?x2=-0.4-2=-2.4

?2π/?y2=-0.8-4=-4.8

?2π/?x?y=-1

构造海森矩阵H，并计算其行列式：

H=???-2.4 -1???

det(H)=(-2.4)(-4.8)-(-1)(-1)=11.52-1=10.52

因为det(H)>0且?2π/?x2<0，所以(x=5,y=3)是利润函数的极大值点。因此，当两种产品的产量分别为5和3时，工厂的总利润最大。

问题二：级数求和的常见技巧有哪些？

级数求和是考研数学中的常见题型，也是许多考生的难点。这类题目通常涉及数项级数、幂级数等，需要考生掌握多种求和技巧。下面我们通过一个具体例子来解析这类题目的解题思路。

例题：求级数∑(n=1 to ∞) (n2)/(2n)的和。

解答：我们可以尝试将级数转化为幂级数的形式。注意到级数中的每一项都可以写成(n2)/(2n)，我们可以将其写成n2乘以(1/2)n。因此，级数可以写成：

∑(n=1 to ∞) n2 (1/2)n

为了求这个级数的和，我们可以使用幂级数的求和技巧。我们知道几何级数的和公式为：

∑(n=0 to ∞) xn = 1/(1-x) (x<1)

我们可以对这个公式两边求导，得到：

∑(n=1 to ∞) n x(n-1) = 1/(1-x)2

再将x替换为1/2，得到：

∑(n=1 to ∞) n (1/2)(n-1) = 1/(1-1/2)2 = 4

接下来，我们再次对上式两边求导，得到：

∑(n=1 to ∞) n (n-1) (1/2)(n-2) = 8

我们可以将n (n-1) (1/2)(n-2)拆分成两部分，即n (1/2)(n-2)和(n-1) (1/2)(n-2)，然后将它们分别乘以1/2和1/4，得到：

∑(n=1 to ∞) n2 (1/2)n = 1/2 ∑(n=1 to ∞) n (1/2)(n-1) + 1/4 ∑(n=1 to ∞) n (n-1) (1/2)(n-2)

将之前求得的两个级数和代入上式，得到：

∑(n=1 to ∞) n2 (1/2)n = 1/2 4 + 1/4 8 = 2 + 2 = 4

因此，级数∑(n=1 to ∞) (n2)/(2n)的和为4。

问题三：线性代数中的特征值与特征向量如何高效求解？

线性代数中的特征值与特征向量是考研数学中的重点内容，也是许多考生的难点。这类题目通常涉及矩阵的特征值、特征向量的计算，以及特征值与特征向量的性质应用。下面我们通过一个具体例子来解析这类题目的解题思路。

例题：已知矩阵A=???1 2 1??????0 1 0??????0 0 1???，求矩阵A的特征值和特征向量。

解答：我们需要求解矩阵A的特征值。特征值满足特征方程det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。因此，我们需要计算矩阵A-λI的行列式，并令其等于0。

矩阵A-λI为：

???1-λ 2 1??????0 1-λ 0??????0 0 1-λ???

计算行列式det(A-λI)：

det(A-λI)=(1-λ) det???1-λ 0???-(2) det???0 0???+(1) det???0 1-λ???

det(A-λI)=(1-λ) [(1-λ)0-01]-2[00-0(1-λ)]+1[0(1-λ)-00]

det(A-λI)=(1-λ) 0-20+10=0

因此，特征方程为(1-λ) 0=0，解得λ=1。

接下来，我们需要求解特征向量。特征向量满足方程(A-λI)x=0，其中x是特征向量。因此，我们需要解方程(A-λI)x=0。

由于λ=1，矩阵A-λI为：

???0 2 1??????0 0 0??????0 0 0???

解方程(A-λI)x=0，得到特征向量为x=(1,0,0)。

因此，矩阵A的特征值为λ=1，特征向量为x=(1,0,0)。