2022年考研数学二第三题主要考察了线性代数中的矩阵运算和特征值特征向量的知识。下面是对该题的详细解析：
题目解析：
本题给出一个3×3的实对称矩阵，要求计算矩阵的特征值和特征向量。
解题步骤：
1. 计算特征多项式： 首先，计算矩阵A的特征多项式\( \lambda^3 - 3\lambda^2 + 3\lambda - 1 = 0 \)。
2. 求解特征值： 解上述特征多项式，得到特征值为\( \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 1, \lambda_3 = -1 \)。
3. 求解特征向量：
- 对应于特征值\( \lambda_1 = 1 \)，解线性方程组\( (A - E)x = 0 \)，得到特征向量\( x_1 = (1, 0, 0) \)。
- 对应于特征值\( \lambda_2 = 1 \)，解线性方程组\( (A - E)x = 0 \)，得到特征向量\( x_2 = (0, 1, 0) \)。
- 对应于特征值\( \lambda_3 = -1 \)，解线性方程组\( (A + E)x = 0 \)，得到特征向量\( x_3 = (0, 0, 1) \)。
总结：
本题考查了矩阵的特征值和特征向量的基本计算方法。在求解特征向量时，需要解线性方程组，这是线性代数中的一个基本运算。
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