2025考研396数学题目讲解如下：
题目一：线性代数
设矩阵 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解答：
首先计算特征多项式 \( \det(A - \lambda I) \)，得到 \( \lambda^2 - 5\lambda + 2 = 0 \)。解得特征值 \( \lambda_1 = 1 \)，\( \lambda_2 = 4 \)。
对于 \( \lambda_1 = 1 \)，解线性方程组 \( (A - I)x = 0 \)，得到特征向量 \( x_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \)。
对于 \( \lambda_2 = 4 \)，解线性方程组 \( (A - 4I)x = 0 \)，得到特征向量 \( x_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \)。
题目二：概率论与数理统计
已知某班级30名学生，其中男生18名，女生12名。随机抽取3名学生，求抽到2名男生和1名女生的概率。
解答：
使用组合公式计算，抽到2名男生的组合数为 \( C_{18}^2 \)，抽到1名女生的组合数为 \( C_{12}^1 \)。总组合数为 \( C_{30}^3 \)。
所以，所求概率 \( P = \frac{C_{18}^2 \cdot C_{12}^1}{C_{30}^3} \)。
题目三：微积分
求函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \) 在区间 \([1, 2]\) 上的最大值和最小值。
解答：
首先求导数 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)。令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = 1 \) 或 \( x = -1 \)。由于 \( x = -1 \) 不在区间 \([1, 2]\) 内，只需考虑 \( x = 1 \)。
计算 \( f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 1 = -1 \) 和 \( f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2 + 1 = 3 \)。
因此，函数在区间 \([1, 2]\) 上的最小值为 -1，最大值为 3。
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