2025年考研数学三真题及解析如下：
一、选择题（每题5分，共30分）
1. 下列函数中，在x=0处连续的是（ ）
A. f(x) = |x| B. f(x) = x^2 C. f(x) = x^3 D. f(x) = 1/x
答案：A
解析：因为f(x) = |x|在x=0处左右极限均存在且相等，且f(0) = |0| = 0，所以f(x)在x=0处连续。
2. 设f(x) = x^2 - 3x + 2，则f'(2)的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：C
解析：f'(x) = 2x - 3，将x=2代入得f'(2) = 2*2 - 3 = 4 - 3 = 1。
3. 设f(x) = e^x，g(x) = ln(x)，则f(g(x))的导数f'(g(x))g'(x)的值为（ ）
A. e^x B. x C. e^x/x D. ln(x)
答案：C
解析：f'(x) = e^x，g'(x) = 1/x，所以f'(g(x))g'(x) = e^ln(x) * 1/x = x/x = 1。
4. 设f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(π/2)的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. -1 D. √2
答案：A
解析：f'(x) = cos(x) - sin(x)，将x=π/2代入得f'(π/2) = cos(π/2) - sin(π/2) = 0 - 1 = -1。
5. 设f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1，则f'(1)的值为（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
答案：A
解析：f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，将x=1代入得f'(1) = 3*1^2 - 6*1 + 2 = 3 - 6 + 2 = -1。
二、填空题（每题5分，共20分）
6. 若lim(x→0) (x^2 - 1) / (x^3 - x) = 1，则x^2 - 1的值是（ ）
答案：1
解析：令x^2 - 1 = t，则x^3 - x = x(x^2 - 1) = xt，代入原式得lim(x→0) t/(xt) = lim(x→0) 1/x = 1，所以t = 1。
7. 设f(x) = x^2 + 2x + 1，则f(1)的值为（ ）
答案：4
解析：将x=1代入f(x)得f(1) = 1^2 + 2*1 + 1 = 4。
8. 若lim(x→0) (sin(x) - x) / x^3 = 1/6，则sin(x)的展开式中x^3的系数是（ ）
答案：-1/6
解析：由泰勒公式知sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...，所以sin(x)的展开式中x^3的系数是-1/6。
9. 设f(x) = x^2 + 2x + 1，则f'(x)的值为（ ）
答案：2x + 2
解析：f'(x) = 2x + 2。
10. 若lim(x→0) (1 - cos(x)) / x^2 = 1/2，则sin(x)的展开式中x^2的系数是（ ）
答案：1/2
解析：由泰勒公式知sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...，所以sin(x)的展开式中x^2的系数是1/2。
三、解答题（共50分）
11. （10分）求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1的极值。
答案：f(x)的极小值为-1，极大值为1。
解析：f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，令f'(x) = 0得x = 1或x = 2/3。当x < 1/3时，f'(x) > 0；当1/3 < x < 1时，f'(x) < 0；当x > 1时，f'(x) > 0。因此，f(x)在x = 1/3处取得极大值1，在x = 1处取得极小值-1。
12. （15分）求函数f(x) = e^x - x^2在区间[0, 1]上的最大值和最小值。
答案：f(x)在x = 1处取得最大值e - 1，在x = 0处取得最小值1。
解析：f'(x) = e^x - 2x，令f'(x) = 0得x = ln(2)。当x < ln(2)时，f'(x) < 0；当x > ln(2)时，f'(x) > 0。因此，f(x)在x = ln(2)处取得最小值e - 2ln(2)，在x = 1处取得最大值e - 1。
13. （15分）设f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1，求f(x)在区间[0, 1]上的积分。
答案：∫(0, 1) (x^3 - 3x^2 + 2x - 1) dx = 1/4。
解析：利用定积分的运算法则，得∫(0, 1) (x^3 - 3x^2 + 2x - 1) dx = ∫(0, 1) x^3 dx - 3∫(0, 1) x^2 dx + 2∫(0, 1) x dx - ∫(0, 1) dx = 1/4。
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