在考研数学中，空间曲面题通常涉及曲面方程、曲面图形的描绘、以及曲面上的积分计算。以下是一个原创的解题示例：
题目：已知曲面方程为 \( z = x^2 + y^2 \)，求该曲面上任意一点到原点的距离的平方。
解题步骤：
1. 设曲面上任意一点为 \( P(x, y, z) \)，则 \( z = x^2 + y^2 \)。
2. 点 \( P \) 到原点 \( O(0, 0, 0) \) 的距离平方为 \( OP^2 = x^2 + y^2 + z^2 \)。
3. 将 \( z = x^2 + y^2 \) 代入 \( OP^2 \) 得 \( OP^2 = x^2 + y^2 + (x^2 + y^2)^2 \)。
4. 对 \( OP^2 \) 进行求导，得到 \( \frac{d(OP^2)}{dx} = 2x + 2(x^2 + y^2) \cdot 2x = 4x^2 + 4xy^2 \)。
5. 令 \( \frac{d(OP^2)}{dx} = 0 \)，解得 \( x = 0 \) 或 \( y = 0 \)。
6. 当 \( x = 0 \) 或 \( y = 0 \) 时，\( OP^2 \) 的最小值为 \( 0 \)，即曲面上任意一点到原点的距离的平方最小为 \( 0 \)。
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