在三维空间中，给定曲面方程为 \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \)，其中 \( z \geq 0 \) 且 \( x^2 + y^2 \leq 1 \)。求该曲面的表面积。
解答思路：
1. 确定曲面方程及其参数化形式。
2. 计算曲面元素 \( ds \)。
3. 使用曲面积分计算曲面总面积。
解答过程：
首先，将曲面方程参数化为 \( x = \cos\theta, y = \sin\theta, z = \sin\theta \)，其中 \( 0 \leq \theta \leq 2\pi \)。
计算曲面元素 \( ds \)：
\[ ds = \sqrt{1 + \left(\frac{dz}{dx}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dy}\right)^2} dx dy \]
\[ \frac{dz}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin\theta) = \cos\theta, \quad \frac{dz}{dy} = \frac{d}{dy}(\sin\theta) = \cos\theta \]
\[ ds = \sqrt{1 + (\cos\theta)^2 + (\cos\theta)^2} dx dy = \sqrt{2} \cos\theta dx dy \]
曲面积分：
\[ S = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \sqrt{2} \cos\theta \, dx \, dy \]
\[ S = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} \cos\theta \, d\theta \int_0^1 dx \]
\[ S = \sqrt{2} \left[ \sin\theta \right]_0^{2\pi} \left[ x \right]_0^1 \]
\[ S = \sqrt{2} \cdot 0 \cdot 1 = 0 \]
但是，这里得到的面积为0，这显然是错误的。原因在于我们未考虑曲面在 \( z \geq 0 \) 的限制。正确的计算方法应该是在 \( 0 \leq \theta \leq \pi \) 的范围内积分，因为在 \( \pi \leq \theta \leq 2\pi \) 的范围内，曲面的 \( z \) 值为负，不在考虑范围内。
\[ S = \sqrt{2} \int_0^\pi \cos\theta \, d\theta \int_0^1 dx \]
\[ S = \sqrt{2} \left[ \sin\theta \right]_0^\pi \left[ x \right]_0^1 \]
\[ S = \sqrt{2} \cdot 2 \cdot 1 = 2\sqrt{2} \]
所以，该曲面的表面积为 \( 2\sqrt{2} \)。
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