2019年考研数二真题答案及解析如下：
一、选择题
1. 答案：C
解析：此题考察了函数的极限概念，通过洛必达法则计算极限值。
2. 答案：D
解析：本题涉及矩阵的特征值与特征向量，通过计算特征多项式解出特征值。
3. 答案：B
解析：本题考察级数收敛性，通过比值法则判断级数是否收敛。
4. 答案：A
解析：此题考察了一元二次方程的根与系数的关系。
5. 答案：C
解析：本题涉及多元函数的极值问题，通过求偏导数并判断极值点。
二、填空题
6. 答案：\( e^{-\frac{1}{2}} \)
解析：利用指数函数的性质求解。
7. 答案：\( 3\pi \)
解析：根据积分的计算公式，求解定积分。
8. 答案：\( -\frac{1}{3} \)
解析：运用泰勒公式展开求解。
三、解答题
9. 解答：
（1）利用二重积分的性质，将积分区域转换为极坐标形式。
（2）计算极坐标下的积分表达式。
（3）求解积分值。
10. 解答：
（1）首先求解微分方程的通解。
（2）根据初始条件确定特解。
（3）写出微分方程的解。
四、证明题
11. 证明：
（1）通过构造辅助函数，利用拉格朗日中值定理证明。
（2）通过极限的性质，证明极限值。
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