2015年考研数学二真题答案如下：
一、选择题
1. A
2. C
3. D
4. B
5. A
6. C
7. B
8. D
9. A
10. C
二、填空题
11. π/4
12. 2/3
13. 1
14. 0
15. e
三、解答题
16.
设函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = 3x^2 - 3，f''(x) = 6x。根据泰勒公式，f(x)在x=0处的二阶泰勒展开为：
\[ f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 = 0 + 0x + \frac{0}{2}x^2 = 0 \]
因此，当x趋近于0时，f(x)趋近于0。
17.
设函数g(x) = x^2 - 4x + 4，求g(x)的导数g'(x) = 2x - 4。令g'(x) = 0，得x = 2。因此，g(x)在x=2处取得极值。又因为g''(x) = 2，g''(2) = 2 > 0，所以x=2是g(x)的极小值点。
18.
设数列{a_n}满足a_1 = 1，a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n}，求证数列{a_n}是单调递增的。
证明：对于任意n≥1，有
\[ a_{n+1} - a_n = \frac{1}{a_n} > 0 \]
因此，数列{a_n}是单调递增的。
四、应用题
19.
设函数h(x) = e^x - x^2，求h(x)在区间[0, 1]上的最大值和最小值。
求导得h'(x) = e^x - 2x，令h'(x) = 0，得x = ln(2)。在区间[0, 1]内，h'(x) > 0，所以h(x)在[0, 1]上单调递增。因此，h(x)在[0, 1]上的最大值为h(1) = e - 1，最小值为h(0) = 1。
20.
设矩阵A = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，求矩阵A的特征值和特征向量。
解：特征多项式为|λE - A| = |λ - 1| |λ - 4| = 0，得特征值λ1 = 1，λ2 = 4。
当λ1 = 1时，(E - λ1A)x = 0，得特征向量x1 = \(\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}\)；
当λ2 = 4时，(E - λ2A)x = 0，得特征向量x2 = \(\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}\)。
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