在1997年的考研中，一道极具挑战性的极限题目如下：
题目：已知函数 \( f(x) = \frac{\sin x}{x} \)，求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x^2)}{f(x^3)}\)。
解答思路：首先，观察到当 \( x \to 0 \) 时，分子和分母都趋近于0，形成“0/0”不定式，因此可以使用洛必达法则。具体操作如下：
1. 对分子 \( f(x^2) \) 和分母 \( f(x^3) \) 分别求导，得到：
\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin x^2}{x^2} \right) = \frac{2x \cos x^2 - \sin x^2}{x^3} \]
\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin x^3}{x^3} \right) = \frac{3x^2 \cos x^3 - 3x \sin x^3}{x^4} \]
2. 应用洛必达法则，得到：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x^2)}{f(x^3)} = \lim_{x \to 0} \frac{2x \cos x^2 - \sin x^2}{3x^2 \cos x^3 - 3x \sin x^3} \]
3. 再次应用洛必达法则，对分子和分母求导，得到：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{2 \cos x^2 - 2x^2 \sin x^2}{6x \cos x^3 - 9x^2 \sin x^3} \]
4. 由于当 \( x \to 0 \) 时，\( \sin x^2 \) 和 \( \sin x^3 \) 都趋近于0，因此可以简化为：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{2 \cos x^2}{6x \cos x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{3x} \]
5. 最后，由于当 \( x \to 0 \) 时，\( \frac{1}{3x} \) 趋近于无穷大，所以原极限不存在。
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