2015考研数学一重点难点突破指南

2015年的考研数学一考试中，不少考生在复习过程中遇到了各种难题，尤其是高等数学、线性代数和概率论与数理统计部分。这些知识点不仅难度较大，而且容易混淆。为了帮助考生更好地理解和掌握这些内容，我们整理了几个常见问题，并提供了详细的解答。这些问题涵盖了2015年考试中的重点和难点，考生可以通过参考解答来巩固自己的知识，提高解题能力。希望这些内容能够帮助大家在考试中取得好成绩！

问题一：2015年考研数学一高等数学中定积分的应用有哪些常见题型？如何解答？

在2015年的考研数学一中，定积分的应用是高等数学部分的重点内容之一。常见的题型包括求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等。解答这类问题时，关键在于正确设置积分变量和积分区间，并灵活运用定积分的几何意义。例如，求平面图形的面积时，可以先画出图形，确定积分的上下限，然后根据函数的解析式计算定积分。对于旋转体的体积，则需要利用圆盘法或壳层法进行求解。下面以一个具体例子来说明。

【例题】求曲线y=lnx与y=x-2在x=1和x=3之间所围成的图形的面积。

【解答】画出两条曲线的图形，确定积分区间为[1,3]。然后，计算两条曲线的交点，发现它们在x=2处相交。因此，可以将积分区间分成两部分：[1,2]和[2,3]。在[1,2]区间内，曲线y=lnx在上方，y=x-2在下方；在[2,3]区间内，曲线y=lnx在上方，y=x-2在下方。因此，所围成的图形的面积为：

面积 = ∫₁²(lnx (x-2))dx + ∫₂³((x-2) lnx)dx

计算这两个定积分，即可得到所求的面积。这类问题需要考生熟练掌握定积分的计算方法和几何意义，才能准确解答。

问题二：2015年考研数学一线性代数中特征值与特征向量的求解技巧有哪些？

在2015年的考研数学一中，线性代数部分的特征值与特征向量是考试的重点之一。这类问题通常涉及求矩阵的特征值、特征向量，以及利用特征值和特征向量解决相关应用问题。解答这类问题时，关键在于正确理解特征值和特征向量的定义，并熟练掌握求解方法。一般来说，求矩阵的特征值需要解特征方程，即det(A-λI)=0；求特征向量则需要解齐次线性方程组(A-λI)x=0。

【例题】已知矩阵A=???100200300???，求矩阵A的特征值和特征向量。

【解答】写出特征方程det(A-λI)=0，即det???100-λ200-λ300-λ???=0。计算行列式，得到(-λ+1)(λ2-λ-300)=0。解这个方程，可以得到特征值λ1=1，λ2=10，λ3=-30。

接下来，分别求每个特征值对应的特征向量。对于λ1=1，解方程(A-I)x=0，即???-100200300??????x1x2x3???=???00???。通过行变换，可以得到x1=0，x2和x3可以自由取值。因此，特征向量为k1???00???，其中k1为任意非零常数。

类似地，可以求出λ2=10和λ3=-30对应的特征向量。这类问题需要考生熟练掌握行列式的计算和线性方程组的求解方法，才能准确解答。

问题三：2015年考研数学一概率论与数理统计中常见的题型有哪些？如何提高解题能力？

在2015年的考研数学一中，概率论与数理统计部分也是考试的重点之一。常见的题型包括概率的计算、随机变量的分布、期望与方差、参数估计等。解答这类问题时，关键在于正确理解概率论的基本概念，并熟练掌握各种计算方法。例如，概率的计算需要灵活运用加法公式、乘法公式和条件概率公式；随机变量的分布需要掌握常见分布的性质和计算方法；期望与方差则需要熟练掌握它们的定义和计算公式。

【例题】已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，求E(X)和Var(X)。

【解答】根据二项分布的性质，随机变量X的期望E(X)为np，方差Var(X)为np(1-p)。因此，可以直接利用公式计算E(X)和Var(X)。

为了提高解题能力，考生可以采取以下方法：

通过以上方法，考生可以逐步提高解题能力，更好地应对考试中的各种问题。