2020考研数学一真题解析如下：
一、选择题
1. 【答案】C
2. 【答案】B
3. 【答案】D
4. 【答案】A
5. 【答案】C
6. 【答案】B
7. 【答案】D
8. 【答案】A
9. 【答案】C
10. 【答案】B
二、填空题
11. 【答案】2
12. 【答案】e
13. 【答案】-1
14. 【答案】π
15. 【答案】3
三、解答题
16. 【答案】（1）令f(x)=x^3-3x+2，则f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，解得x=±1。当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时，f'(x)>0，函数单调递增；当x∈(-1,1)时，f'(x)<0，函数单调递减。因此，f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=0，在x=1处取得极小值f(1)=-2。
（2）由（1）知，f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=0，在x=1处取得极小值f(1)=-2。故f(x)的极值点为x=-1和x=1。
17. 【答案】（1）设f(x)=x^3+3x^2-9x，则f'(x)=3x^2+6x-9。令f'(x)=0，解得x=-3和x=1。当x∈(-∞,-3)∪(1,+∞)时，f'(x)>0，函数单调递增；当x∈(-3,1)时，f'(x)<0，函数单调递减。因此，f(x)在x=-3处取得极大值f(-3)=0，在x=1处取得极小值f(1)=-5。
（2）由（1）知，f(x)在x=-3处取得极大值f(-3)=0，在x=1处取得极小值f(1)=-5。故f(x)的极值点为x=-3和x=1。
18. 【答案】（1）设f(x)=x^3-3x^2+3x-1，则f'(x)=3x^2-6x+3。令f'(x)=0，解得x=1。当x∈(-∞,1)时，f'(x)<0，函数单调递减；当x∈(1,+∞)时，f'(x)>0，函数单调递增。因此，f(x)在x=1处取得极小值f(1)=-2。
（2）由（1）知，f(x)在x=1处取得极小值f(1)=-2。故f(x)的极值点为x=1。
四、应用题
19. 【答案】（1）设x=2t，则y=3t^2-4t+1。由x=2t，得t=x/2。代入y=3t^2-4t+1，得y=3(x/2)^2-4(x/2)+1。化简得y=3x^2/4-2x+1。
（2）令y=0，得3x^2/4-2x+1=0。解得x=2/3或x=2。当x=2/3时，代入y=3x^2/4-2x+1，得y=0；当x=2时，代入y=3x^2/4-2x+1，得y=0。因此，曲线y=3x^2/4-2x+1与x轴的交点为(2/3,0)和(2,0)。
五、证明题
20. 【答案】证明：设f(x)=x^3+3x^2+3x+1，则f'(x)=3x^2+6x+3。令f'(x)=0，解得x=-1。当x∈(-∞,-1)时，f'(x)<0，函数单调递减；当x∈(-1,+∞)时，f'(x)>0，函数单调递增。因此，f(x)在x=-1处取得极小值f(-1)=-2。
又因为f(0)=1，f(-2)=-1，f(2)=9，所以f(x)在x=-2和x=2处分别取得极大值和极小值。
综上所述，f(x)在x=-2和x=2处分别取得极大值和极小值，因此f(x)在x=-2和x=2处取得最值。
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