2019年考研数学一真题及答案解析如下：
一、选择题
1. 设函数$f(x)=\frac{1}{x}$，则$f(x)$在$x=0$处的导数是（ ）
A. 0 B. 1 C. -1 D. 不存在
答案：D
解析：由于$x=0$处函数$f(x)$无定义，因此$f(x)$在$x=0$处的导数不存在。
2. 下列函数中，可导的是（ ）
A. $f(x)=|x|$ B. $f(x)=\sqrt{x}$ C. $f(x)=\frac{1}{x}$ D. $f(x)=x^2$
答案：B
解析：$f(x)=\sqrt{x}$在定义域内连续，且导数存在。
3. 若$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，则$f'(2)=\text{？}$
答案：-1
解析：$f'(x)=3x^2-6x+4$，代入$x=2$得$f'(2)=-1$。
二、填空题
4. 设函数$f(x)=e^x-\sin x$，则$f'(0)=\text{？}$
答案：1
解析：$f'(x)=e^x-\cos x$，代入$x=0$得$f'(0)=1$。
5. 设$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，则$f''(x)=\text{？}$
答案：$-\frac{2x}{(x^2+1)^3}$
解析：$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$，$f''(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}+\frac{4}{(x^2+1)^3}=-\frac{2x}{(x^2+1)^3}$。
三、解答题
6. 求函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$的极值。
答案：$f(x)$在$x=0$处取得极小值$f(0)=1$，无极大值。
解析：$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$，令$f'(x)=0$得$x=0$，$f''(x)=\frac{2(x^2+1)^2-8x^2}{(x^2+1)^4}$，代入$x=0$得$f''(0)=2>0$，故$f(x)$在$x=0$处取得极小值。
7. 求函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的拐点。
答案：$f(x)$的拐点为$(1,1)$。
解析：$f'(x)=3x^2-6x+4$，$f''(x)=6x-6$，令$f''(x)=0$得$x=1$，$f(1)=1$，$f''(2)=6>0$，故$f(x)$的拐点为$(1,1)$。
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