在探索考研数学高等代数的奥秘时，真题及解析无疑是不可或缺的指南针。以下是对几道典型真题的深入解析：
1. 矩阵的特征值与特征向量问题：
- 真题：给定矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)，求 \( A \) 的特征值和特征向量。
- 解析：首先求特征多项式 \( \det(A - \lambda I) \)，解得特征值 \( \lambda_1 = \lambda_2 = 2 \)。接着求对应的特征向量，解线性方程组 \( (A - \lambda I)X = 0 \)，得到特征向量 \( X_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \) 和 \( X_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
2. 二次型的问题：
- 真题：已知二次型 \( f(x, y) = x^2 - 2xy + 3y^2 \)，求其正负惯性指数。
- 解析：首先将二次型转换为矩阵形式 \( A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \)，然后求矩阵 \( A \) 的特征值。特征值 \( \lambda_1 = 2 \)，\( \lambda_2 = 4 \)，\( \lambda_3 = 0 \)，因此正惯性指数为2，负惯性指数为1。
3. 线性方程组的问题：
- 真题：解线性方程组 \( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}X = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \)。
- 解析：通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，得到 \( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix} \)。因此，方程组有无穷多解，通解为 \( X = k \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)，其中 \( k \) 为任意常数。
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