在数学三考研模拟题的海洋中，以下是一道精选的原创模拟题：
题目：
设函数 \( f(x) = \frac{x^3 - 3x}{x^2 - 1} \)，求 \( f(x) \) 的极值。
解答：
首先，我们需要找到函数 \( f(x) \) 的定义域。由于分母不能为零，故 \( x \neq 1 \) 且 \( x \neq -1 \)。
接着，我们求函数的导数 \( f'(x) \)：
\[ f'(x) = \frac{(3x^2 - 3)(x^2 - 1) - (x^3 - 3x)(2x)}{(x^2 - 1)^2} \]
将分子展开并简化，得到：
\[ f'(x) = \frac{3x^4 - 3x^2 - 3 + 2x^4 - 6x^2}{(x^2 - 1)^2} \]
\[ f'(x) = \frac{5x^4 - 9x^2 - 3}{(x^2 - 1)^2} \]
为了找到极值点，我们令 \( f'(x) = 0 \)：
\[ 5x^4 - 9x^2 - 3 = 0 \]
这是一个关于 \( x^2 \) 的二次方程，设 \( y = x^2 \)，则方程变为：
\[ 5y^2 - 9y - 3 = 0 \]
解这个二次方程，我们得到：
\[ y = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 60}}{10} \]
\[ y = \frac{9 \pm \sqrt{141}}{10} \]
由于 \( y = x^2 \)，所以：
\[ x^2 = \frac{9 + \sqrt{141}}{10} \quad \text{或} \quad x^2 = \frac{9 - \sqrt{141}}{10} \]
这两个值分别在 \( x \) 的定义域内，所以我们需要计算这两个点的函数值来判断是极大值还是极小值。
通过计算 \( f(x) \) 在这两个点的值，并结合导数的符号变化，我们可以确定 \( x \) 的这两个值对应的 \( f(x) \) 是极大值还是极小值。
答案：
极值点 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 分别对应 \( f(x_1) \) 和 \( f(x_2) \) 的极大值和极小值。
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