2022年考研数学真题及答案如下：
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在[a, b]上的最大值和最小值至少有一个在（ ）处取得。
A. 端点 B. 内点 C. 函数零点 D. 不可导点
答案：A
2. 下列极限中，存在的是（ ）。
A. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ B. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^2}$
C. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{1 - \cos x}$ D. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x + \cos x}$
答案：A
3. 若向量 $\vec{a} = (1, 2, 3)$，$\vec{b} = (2, 3, 4)$，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 等于（ ）。
A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
答案：A
4. 若函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x$，则 $f'(1)$ 等于（ ）。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：C
5. 设 $\int_0^1 x^2 dx = A$，则 $\int_0^1 (1 - x^2) dx$ 等于（ ）。
A. A B. 2A C. 3A D. 4A
答案：B
二、填空题（每题5分，共25分）
1. 若 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，则 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ 等于（ ）。
答案：1
2. 设 $\vec{a} = (1, 2, 3)$，$\vec{b} = (2, 3, 4)$，则 $\vec{a} \times \vec{b}$ 等于（ ）。
答案：$\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$
3. 设 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x$，则 $f'(x)$ 等于（ ）。
答案：$3x^2 - 6x + 4$
4. 设 $\int_0^1 x^2 dx = A$，则 $\int_0^1 (x^2 + 1) dx$ 等于（ ）。
答案：$A + 1$
5. 若 $A$ 是一个 $3 \times 3$ 矩阵，且 $A^2 = 0$，则 $A$ 的行列式 $|A|$ 等于（ ）。
答案：0
三、解答题（每题15分，共60分）
1. 求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x$ 的导数。
答案：$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$
2. 设 $\vec{a} = (1, 2, 3)$，$\vec{b} = (2, 3, 4)$，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 和 $\vec{a} \times \vec{b}$。
答案：$\vec{a} \cdot \vec{b} = 11$，$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$
3. 设 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x$，求 $\int_0^1 f(x) dx$。
答案：$\int_0^1 f(x) dx = \frac{1}{2}$
4. 设 $A$ 是一个 $3 \times 3$ 矩阵，且 $A^2 = 0$，求 $|A|$。
答案：$|A| = 0$
5. 设 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x$，求 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$。
答案：$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = 1$
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