2023年考研数学一试题如下：
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则$f'(1)$的值为（ ）
A. -2 B. 0 C. 2 D. 4
2. 若$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^3} = \frac{1}{6}$，则$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x - 2x}{x^3}$的值为（ ）
A. $\frac{1}{3}$ B. $\frac{2}{3}$ C. $\frac{1}{2}$ D. $\frac{2}{5}$
3. 设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，$B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，则$A^2 - B^2$的值为（ ）
A. $\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}$ B. $\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ -6 & -8 \end{bmatrix}$ C. $\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ D. $\begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$
4. 设$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$，则$f'(x)$的值为（ ）
A. $2x$ B. $2$ C. $x + 1$ D. $x - 1$
5. 设$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^3} = \frac{1}{6}$，则$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x - 1}{x^2}$的值为（ ）
A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{1}{3}$ C. $\frac{1}{4}$ D. $\frac{1}{5}$
二、填空题（每题5分，共20分）
6. 设$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$，则$f'(1)$的值为______。
7. 设$f(x) = \sin x$，则$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^3}$的值为______。
8. 设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，$B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，则$A^2 - B^2$的值为______。
9. 设$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$，则$f'(x)$的值为______。
10. 设$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^3} = \frac{1}{6}$，则$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x - 1}{x^2}$的值为______。
三、解答题（共100分）
11. （本题20分）证明：$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^3} = \frac{1}{6}$。
12. （本题20分）设$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$，求$f'(x)$。
13. （本题20分）设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，$B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$，求$A^2 - B^2$。
14. （本题20分）求函数$f(x) = \sin x$在$x = 0$处的导数。
15. （本题20分）设$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^3} = \frac{1}{6}$，求$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x - 1}{x^2}$。
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